【学习笔记】行列式

Posted on 2021-11-05 Edited on 2022-02-26

记录一些基础的行列式知识

排列

奇排列: 逆序对数量为奇数的排列
偶排列: 逆序对数量为偶数的排列
对换: 交换一个排列中的两个数, 其它的数不变, 得到另一个排列, 叫做对换

性质: 对换改变排列奇偶性 $\left( \text{证明参考同济大学《线性代数》} \right)$

行列式

行列式在数学中是一个函数, 其定义域为 $n \times n$ 的矩阵 $A$，取值为一个标量, 写作 $\operatorname{det}(A)$ 或 $|A|$.

$n$ 阶行列式由 $n^2$ 个数通过下式确定一个数:

$\operatorname{det}(A) = \left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& \cdots& a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& \cdots& a_{2,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n,1}& a_{n,2}& a_{n,3}& \dots& a_{n,n} \end{array}\right| \\ = \sum_{\sigma \in S}{\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i = 1}^{n}{a_{i,\sigma(i)}}}$

其中 $S$ 为 $1 \sim n$ 的所有排列构成的集合,

$\operatorname{sgn}(\sigma) = \begin{cases} 1,\quad \ \ & \sigma \text{为偶排列} \\ -1,\quad \ \ & \sigma \text{为奇排列} \end{cases}$

大概就是每行取一个数, 每列取一个数, 共 $n$ 个数, 再乘 $\operatorname{sgn}$.

显然, 按照定义求这个式子是 $\mathcal{O}(n!n)$ 的.

行列式的转置

对于一个矩阵 $A$, 将其行列互换后得到的矩阵称为其转置, 记作 $A^{T}$.

举个列子: 若记

$A=\left|\begin{array}{cccc} 1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9 \end{array}\right|$

则行列互换后变成

$A^T=\left|\begin{array}{cccc} 1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9 \end{array}\right|$

行列式的线性性

用一个数去乘某个矩阵的行列式等于用这个数去乘此矩阵的某一行(列)所得到的矩阵的行列式.

简证:

$\left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}& a_{1,2}& \dots& a_{1,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ ka_{x,1}& ka_{x,2}& \dots& ka_{x,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots& a_{n,n} \end{array}\right| = \sum_{\sigma \in S}{\operatorname{sgn}(\sigma) \times(ka_x)\times \prod_{i = 1,i \not= x}^{n}{a_{i,\sigma(i)}}} \\ = k \times \sum_{\sigma \in S}{\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i = 1}^{n}{a_{i,\sigma(i)}}} \\ = k \times \operatorname{det}(A)$

如果矩阵的某一行(列)是两组数之和, 则这个矩阵的行列式等于分别以这两组数为该行(列), 其余行(列)与这个矩阵相同的矩阵的行列式之和.

即：

$\left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}& a_{1,2}& \dots& a_{1,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ b_{i,1}+c_{i,1}& b_{i,2}+c_{i,2}& \dots& b_{i,n}+c_{i,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots& a_{n,n}\\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}& a_{1,2}& \dots& a_{1,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ b_{i,1}& b_{i,2}& \dots& b_{i,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots& a_{n,n}\\ \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}& a_{1,2}& \dots& a_{1,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ c_{i,1}& c_{i,2}& \dots& c_{i,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots& a_{n,n}\\ \end{array}\right|$

同上, 类似可证.

行列式的其它性质

交换行列式的两行, 行列式变为相反数

交换两行, 对于行列式定义式中的每个单项, 改变的只有 $\operatorname{sgn}(\sigma)$, 相当于给这种排列做一次对换, 奇偶性改变, 则其正负改变, 所以变号.

如果矩阵的两行(列)对应成比例, 则其行列式的值等于 $0$.

考虑下面这个行列式

这可以化为

$k \times \left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}& a_{1,2}& \dots& a_{1,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \dots& a_{i,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \dots& a_{i,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots& a_{n,n} \end{array}\right|$

又由于交换的两行形式相同, 行列式形式不变, 所以行列式的值不变, 但交换两行后行列式的值又应变为相反数, 相反数等于自己的只有 $0$.

把某一行(列)的某个倍数加到另一行(列)，值不变

把第 $i$ 行的 $k$ 倍加到第 $j$ 行：

$\left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}& a_{1,2}& \dots& a_{1,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \dots& a_{i,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ ka_{i,1}+a_{j,1}& ka_{i,2}+a_{j,2}& \dots& ka_{i,n}+a_{j,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots& a_{n,n} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}& a_{1,2}& \dots& a_{1,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \dots& a_{i,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ ka_{i,1}& ka_{i,2}& \dots& ka_{i,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots& a_{n,n} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}& a_{1,2}& \dots& a_{1,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \dots& a_{i,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{j,1}& a_{j,2}& \dots& a_{j,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots& a_{n,n} \end{array}\right| \\ = \left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}& a_{1,2}& \dots& a_{1,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \dots& a_{i,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{j,1}& a_{j,2}& \dots& a_{j,n}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots& a_{n,n} \end{array}\right|$

特殊的矩阵的行列式

$\left|\begin{array}{cccc} a_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& \dots& a_{1,n} \\ 0& a_{2,2}& a_{2,3}& \dots& a_{2,n} \\ 0& 0& a_{3,3}& \dots& a_{3,n} \\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ 0& 0& 0& \dots& a_{n,n} \end{array}\right|$

显然它的值是 $\prod\limits_{i = 1}^{n}{a_{i,i}}$

行列式的求值

用 $Gauss$ 消元, 将行列式变成下三角, 对角线乘积及为行列式的值.

inline double Gauss(int n) {
    double det = 1;bool flg = true;
	for (register int i = 0;i < n;++i) {
		int k = i;
		for (register int j = i+1;j < n;++j)
			if (fabs(f[j][i]) > fabs(f[k][i]))k = j;
		if (k ^ i)swap(f[k],f[i]),flg ^= 1;
		if (fabs(f[i][i]) < eps)exit(puts("-1")&0);
		double div = f[i][i];
        del *= f[i][i];
		for (register int j = i;j <= n;++j)f[i][j] /= div;
		for (register int j = i+1;j < n;++j) {
			div = f[j][i];
			for (register int k = i;k <= n;++k)f[j][k] -= f[i][k]*div;
		}
	}
	return flg ? det : -det;
}